Netzphysik

Theorie des Spannungsfalls

Im Folgenden werden die theoretischen Grundlagen zu den Spannungsverhältnissen und den sich einstellenden Spannungsfällen im Verteilungsnetz vorgestellt und aus deren mathematischer Beschreibung die möglichen Einflussgrößen abgeleitet. Eine gängige Methode Netzgrößen darzustellen ist die Verwendung von komplexen Zeigern, weil die Transformation der Größen aus dem Zeit- in den Frequenzbereich eine einfachere Berechnung und Darstellung des Netzzustandes ermöglicht. Auf diesem Weg soll im Weiteren der Spannungsfall erläutert werden.

Der komplexe Spannungsfall

In der Regel können Leitungen und Transformatoren vereinfacht als eine Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R und einer Reaktanz jX betrachtet werden. Abbildung 1 zeigt hierzu das Ersatzschaltbild (mit den auf die Länge l normierten Impedanzgrößen R´ und X´) sowie das Zeigerdiagramm der Spannungen. Ein Stromfluss \underline{I} über diese beiden Elemente führt zu einer Differenz der Spannung am Leitungsanfang \underline{U}_A und der Spannung am Ende \underline{U}_E in Betrag und Phase. Diesen Unterschied beschreibt der komplexe Spannungsfall \Delta \underline{U}=\underline{U}_A - \underline{U}_E, der sich aus dem Produkt der Impedanz \underline{Z}_L=R+jX und dem Strom \underline{I} errechnet. \Delta \underline{U} kann auf die beiden Ersatzschaltbildelemente aufgeteilt (\underline{U}_R und \underline{U}_X) oder in seinen Real- und Imaginärteil zerlegt werden. Der Realteil von \Delta \underline{U} wird als Längsspannungsfall \Delta \underline{U}_L und der Imaginärteil von \Delta \underline{U} als Querspannungsfall \Delta \underline{U}_Q bezeichnet. Für die Netzplanung ist streng genommen der Spannungsunterschied der Effektivwerte am Anfang und am Ende der Leitung \Delta U_{AE} und nicht \Delta \underline{U}oder \Delta U_L entscheidend. Aus Abbildung 1 wird ersichtlich, dass auf der einen Seite im Vergleich zum eigentlichen auslegungsrelevanten Spannungsfall \Delta U_{AE} der Spannungsfall über der Netz- bzw. Transformatorimpedanz \vert \Delta \underline{U} \vert = \vert \underline{Z} \cdot \underline{I} \vert stets größer ist, auf der anderen Seite sein Realteil, der betragsmäßige Längsspannungsfall \Delta U_L geringfügig kleiner ist. Bei kleinen Verdrehwinkeln \sigma zwischen \underline{U}_A und \underline{U}_E, was für die Mittel- und Niederspannungsebene zutrifft, kann aber in guter Näherung der Längsspannungsfall \Delta U_L auf Leitungen mit \Delta U_{AE} gleich gesetzt werden. Bei genauerer Betrachtung ergeben sich in der Praxis Unterschiede zwischen \Delta U_L und \Delta U_{AE} von 0,1 bis zu 2,5 %, bezogen auf \Delta U_{AE}. Bei Transformatoren ergeben sich aufgrund der stark induktiv geprägten Impedanz deutlich größere Unterschiede.

Abbildung 1: Vereinfachtes Ersatzschaltbild und Spannungszeigerdiagramm einer Leitung bzw. eines Transformators
Abbildung 1: Darstellung des Spannungsfalls in der komplexen Ebene

Nachfolgend werden die mathematischen Zusammenhänge der jeweiligen Spannungsfallkomponenten unter Annahme eines Stroms in Bezugspfeilrichtung (Richtung U_E) und unter Verwendung eines induktiven Blindstroms dargestellt. Die aufgezeigten Formeln haben allerdings allgemeine Gültigkeit. Kapazitiver Blindstrom oder Stromfluss entgegen des Bezugspfeils aus Abbildung 1 müssen lediglich mit negativen Vorzeichen eingesetzt werden.

 \begin{tabular}{ll} Komplexer Spannungsfall & $\Delta \underline{U} = \underline{U}_A - \underline{U}_E = \underline{Z} \cdot \underline{I} = (R+jX) \cdot (I_w-jI_b)$ \\ & \\ Längsspannungsfall & $\Delta U_L = \mathfrak{Re} \{\underline{I} \cdot \underline{Z}\} = I \cdot (R \cdot \cos\varphi_E + X \cdot \sin\varphi_E )$ \\ & \\ Querspannungsfall & $\Delta U_Q = \mathfrak{Im} \{\underline{I} \cdot \underline{Z}\} =I \cdot (X \cdot \cos\varphi_E - R \cdot \sin\varphi_E )$ \\ & \\ Auslegungsrelevanter Spannungsfall & $\Delta U_{AE} = \vert \underline{U}_A \vert - \vert \underline{U}_E \vert$ \hspace{2em}($\approx \Delta U_L$, wenn $\sigma$ klein)\\ \end{tabular}

Vereinfachend kann also der auslegungsrelevante Spannungsfall in Form des Längsspannungsfalls berechnet werden, wenn man den Verschiebungsfaktor in obiger Gleichung zur Berechnung des Spannungsfalls \Delta U_L, der als Phasengröße mit \Delta U_{LY} gekennzeichnet wird, ausklammert:

$\Delta U_{LY} = I \cdot l \cdot (R'_b +X'_b \cdot \tan\varphi_E) \cdot \cos\varphi_E$

und einen auf die Leitungslänge normierten Längswiderstand \psi' einführt:

$\psi'= R'_b + X'_b \cdot \tan\varphi_E$

erhält man:

$\Delta U_{LY} = I \cdot l \cdot \psi' \cdot \cos\varphi_E = \frac{P_E \cdot l \cdot \psi'}{\sqrt{3} \cdot U_{E\Delta}}$

Darin ist P_E die Drehstrom-Wirkleistung und U_{E\Delta} die verkettete Spannung am Leitungsende. Die übrigen Größen können der Abbildung 1 entnommen werden. Die Leiter-Leiter-Größe errechnet sich aus der Phasengröße über die Multiplikation mit dem Verkettungsfaktor \sqrt{3}:

$U_{L\Delta}=\sqrt{3} \cdot \Delta U_{LY} =\frac{P_E \cdot l \cdot \psi'}{U_{E\Delta}} \approx \frac{P_E \cdot l \cdot \psi'}{U_n}$

Üblicherweise wird die Nennspannung für die in der Regel unbekannte Spannung U_{E\Delta} eingesetzt und damit begründet, dass beide Spannungen maximal um 10\ \% voneinander abweichen. Normiert auf die Nennspannung ergibt sich der relative Spannungsfall:

$\Delta u_{L\Delta} \approx \frac{P_E \cdot l \cdot \psi'}{U^2_n}$

Der komplexe Spannungsfall im Verteilungsnetz

Auf Basis der gewonnenen Erkenntnisse kann der Spannungsfall entlang der in Abbildung 2 dargestellten Übertragungsstrecke als Addition einzelner Spannungsfälle längs der Betriebsmittel aufgefasst werden.

Abbildung 2: Schema und ESB eines Beispielnetzes
Abbildung 2: Schema und ESB eines Beispielnetzes

Um die Spannungsfälle im MS- und NS-Netz einheitlich in einem Diagramm darstellen zu können, werden diese im Folgenden auf die jeweilige Nennspannung normiert:

$\Delta \underline{u} = \frac{\Delta \underline{U}}{U_n}$

Der Ortsnetztransformator wird dabei von der Oberspannungsseite her betrachtet und die Impedanz entsprechend der MS zugeordnet.

Ausgehend von der Spannung \underline{u}_{UW} am UW, die in der Regel maximal um die halbe Regelbandbreite (Die RBB ergibt sich aus den eingestellten Parametern für die obere und untere Schaltschwelle B_O und B_U, die üblicherweise symmetrisch um den Sollwert gelegt werden) vom Sollwert (SW) abweichen kann, ergibt sich im Starklastfall eine minimale Spannung \underline{u}_{NS,Last,min} aus der geometrischen Additon der Spannungsfälle auf der MS-Leitung (\Delta \underline{u}_{MS}), über dem Ortsnetztransformator (\Delta \underline{u}_{ONT}) und entlang der Niederspannungsleitung (\Delta \underline{u}_{NS}). Das resultierende verkettete Spannungszeigerdiagramm ist in Abbildung 3 im rechten Bildteil zu sehen. Zudem ist eine Projektion der wirksamen Spannungsunterschiede auf das zulässige Spannungsband (U_{n} \pm10\ \%) dargestellt (Schnittpunkt der Kreise mit horizontaler Linie). Des Weiteren ist die Regelbandbreite des Umspannwerk-Transformators eingezeichnet, innerhalb deren die Spannung der MS-Sammelschiene schwanken kann. Für den Starklastfall ohne Einspeisung ist deshalb von einer an der unteren Schwelle der Regelbandbreite liegenden MS-Sammelschienenspannung \underline u_{UW} auszugehen. Dabei muss trotz maximal möglicher Spannungsfälle sichergestellt sein, dass die untere Spannungsbandgrenze von 0,90\ p.u. nicht unterschritten wird. Auf der anderen Seite (linker Bereich in Abbildung 3) darf die Spannung an keinem Punkt im Verteilungsnetz über 1,10\ p.u. liegen. Maßgebend ist hierfür der Schwachlastfall mit maximaler Einspeisung aus dezentralen Erzeugungsanlagen mit einer anzunehmenden MS-Sammelschienenspannung an der oberen Schwelle der Regelbandbreite.

Abbildung 3: Spannungszeigerdiagramm für Verteilnetz für max. zulässigen Einspeise- und Lastfall
Abbildung 3: Spannungszeigerdiagramm für Verteilnetz für max. zulässigen Einspeise- und Lastfall

Bei Betrachtung von Abbildung 5 wird deutlich, dass die geometrische Lage der einzelnen Spannungsfälle entscheidenden Einfluss auf den letztendlich relevanten Spannungsunterschied u_{AE} hat (u_{AE,\Sigma} = u_{AE,MS} + u_{AE,ONT} + u_{AE,NS}). Dieser Effekt ist vor allem bei Ortsnetztransformatoren (\Delta \underline{u}_{ONT}) ersichtlich. Während der komplexe Spannungsfall (\Delta \underline u_{ONT}) entsprechend seiner relativen Kurzschlussspannung beträchtlich sein kann, z. B. 4\ \% bei einer Belastung mit Nennstrom und einem u_k = 4\ \%, wird mit ca. 0,5\ \% ein wesentlich kleinerer Teil des Spannungsbandes effektiv belegt.

Die in der komplexen Ebene beschriebenen Zusammenhänge können mathematisch ausgedrückt werden:

$\underline u_{LAST} = [\underline u_{UW} \pm a_4 \cdot \underline u_{st,UW}] - \Delta \underline u_{MS} - \left[ \Delta \underline u_{ONT} \pm m_6 \cdot \underline u_{st,ONT} \right] - \Delta \underline u_{NS}$

Die Kleinbuchstaben u kennzeichnen die auf die jeweilige Nennspannung normierten Spannungen bzw. Spannungsfälle. Die Buchstaben a und m nehmen ganzzahlige Werte an und symbolisieren die automatische Spannungsregelung über Stufenschalter bzw. die manuelle Einstellung über Umsteller. Der Index 4 bzw. 6 repräsentiert die Netzebene, in der sich die Spannungsregel-/einstelleinrichtung befindet (siehe Tabelle 1).

Tabelle 1: Legende zum Index der Spannungsgleichung
\begin{tabular}{|r|ll|} \hline \rowcolor[gray]{.9} Index & Netzebene & \\ \hline 1 & Netzebene 1: & Höchstspannungsebene 220/380 kV \\ 2 & Netzebene 2: & HöS-/HS-Verknüpfungspunkt \\ 3 & Netzebene 3: & Hochspannungsebene 110 kV \\ 4 & Netzebene 4: & HS-/MS-Verknüpfungspunkt (UW-Transformator) \\ 5 & Netzebene 5: & Mittelspannungsebene 10...30 kV \\ 6 & Netzebene 6: & MS-/NS-Verknüpfungspunkt (ONT) \\ 7 & Netzebene 7: & Niederspannungsebene U_n \le 1 kV \\ \hline \end{tabular}

Mit \pm m_6 \cdot \underline u_{st,ONT} kann also eine Abweichung vom Nennübersetzungsverhältnis des Ortsnetztransformators berücksichtigt werden. Dies lässt sich in diskreten Stufen mit einer wirksamen Stufenspannung \underline u_{st,ONT} im spannungslosen Zustand verändern. Dabei ist zu beachten, dass eine Verstellung des Übersetzungsverhältnisses das Niveau der Ausgangsspannung sowohl für den Last- als auch für den Einspeisefall gleichermaßen entsprechend erhöht bzw. erniedrigt. Der Term \pm a_4 \cdot \underline u_{st,UW} steht für die automatische Ausregelung des mit Nennübersetzung auf die Sekundärseite des UW-Transformators übertragene Hochspannung \underline{u}_{UW}. In Abbildung 4 ist das normierte Spannungszeigerdiagramm für den Lastfall dargestellt. Mit den blauen Pfeilen sind die UW-Regelung und die Einstellbarkeit des ONT-Übersetzungsverhältnisses angedeutet.

Abbildung 4: Spannungszeigerdiagramm im Lastfall
Abbildung 4: Spannungszeigerdiagramm im Lastfall mit angedeuteten Angriffspunkten (blaue Pfeile) der Spannungsbeeinflussbarkeit durch den Stufenschalter im UW-Transformator und den Umsteller im ONT

Ersetzt man die jeweiligen Spannungsfälle durch deren Produkt aus Strom (weiterhin induktiver Blindstrom bzw. Blindleistung angenommen) und auf die Leitungslänge normierte Impedanz und drückt man die Wirk- und Blindanteile der Ströme durch die transportierte Leistung P und Q aus, kann folgender Ausdruck gewonnen werden:

 \begin{tabular}{rllll} $\underline{u}_{Last}$ & $= \underline{u}_{UW}\pm {\color{green} \underline {{\color{black} a_4\cdot \underline{u}_{St,UW}}}} $ & & & UW \\ & $- \Big[ \big( {\color{blue} \underline{{\color{black}P_{MS}}}} \cdot {\color{magenta} \underline{{\color{black} R'_{MS} \cdot l_{MS}}}} - {\color{red} \underline {{\color{black}Q_{MS}}}} \cdot {\color{magenta} \underline{{\color{black}X'_{MS} \cdot l_{MS}}}} \big)$ & $+ \quad j\; \big( P_{MS} \cdot X'_{MS} \cdot l_{MS} + Q_{MS} \cdot R'_{MS} \cdot l_{MS} \big) \Big]$ & $\cdot \; \frac{1}{\sqrt{3} \cdot U^2_{n,MS}}$ & MS-Leitung \\ %============================== &&&&\\ & $\pm\; {\color{green} \underline {{\color{black}m_6 \cdot \underline{u}_{St,ONT}}}}$ & & & \\ % &&&&\\ & $- \Big[ \big({\color{blue} \underline {{\color{black} P_{ONT}}}} \cdot {\color{magenta} \underline {{\color{black}R_{ONT}}}} - {\color{red} \underline {{\color{black}Q_{ONT}}}} \cdot {\color{magenta} \underline {{\color{black}X_{ONT}}}} \big)$ & $+ \quad j\; \big(P_{ONT} \cdot X_{ONT} + Q_{ONT} \cdot R_{ONT} \big) \Big] $ & $\cdot \; \frac{1}{\sqrt{3} \cdot U^2_{n}}$ & ONT \\ %============================== &&&&\\ & $- \Big[ \big( {\color{blue} \underline {{\color{black} P_{NS}}}} \cdot {\color{magenta} \underline {{\color{black}R'_{NS} \cdot l_{NS}}}} - {\color{red} \underline {{\color{black}Q_{NS}}}} \cdot {\color{magenta} \underline {{\color{black}X'_{NS} \cdot l_{NS}}}} \big)$ & $+ \quad j\; \big( P_{NS} \cdot X'_{NS} \cdot l_{NS} + Q_{NS} \cdot R'_{NS} \cdot l_{NS} \big) \Big]$ & $\cdot \; \frac{1}{\sqrt{3} \cdot U^2_{n,NS}}$ & NS-Leitung \\ %============================== &&&&\\ &&&&\\ & Längsspannungsfall $\Delta U_L$ & Querspannungsabfall $\Delta U_Q$ & Normierung &\\ \end{tabular}

Aus dieser Gleichung können alle grundsätzlichen Einflussmaßnahmen auf die Spannungshaltung abgeleitet werden. Diese sind:

 \begin{tabular}{rlrl} {\color{magenta} $\bullet$} & Impedanzreduktion, &{\color{blue} $\bullet$} & Wirkleistungsreduktion, \\ {\color{red} $\bullet$} & Blindleistungsmanipulation & {\color{green} $\bullet$} & direkte Spannungsquellen \end{tabular}

Einflussmaßnahmen auf die Spannungshaltung

Impedanzreduktion

Die Impedanzreduktion zielt auf eine Verringerung der wirksamen Netz bzw. Transformatorimpedanz bestehend aus R und X. Mögliche Maßnahmen sind der Einbau paralleler Leitungen, Verwendung von Leitungen größeren Querschnitts, die Vermaschung von Netzteilen, Verringerung der effektiven Impedanzbeläge R' und X', zusätzliche Ortsnetzstationen bzw. Umspannwerke (Verkürzung der Leitungslängen) oder die Verwendung einer größeren Transformatorbraureihe ( \underline Z_{ONT}).

Wirkleistungsreduktion

Die Wirkleistungsreduktion beeinflusst in gleicher Weise wie die Impedanzreduktion den Spannungsfall längs der Netzbetriebsmittel. Die Absenkung der zu übertragenden Wirkleistung (P_{MS}, P_{ONT}, P_{NS}) kann über Speicher, Spitzenkappung bei dezentralen Erzeugungsanlagen sowie Last- und Einspeisemanagement erreicht werden.

Blindleistungsmanipulation

Durch Blindleistungsmanipulation kommt es neben der Beeinflussung der Länge des komplexen Spannungsfalls auch zu einer Drehung der Phasenlage. Induktiver Blindleistungsbezug wirkt spannungssenkend, kapazitiver spannungsanhebend. Eine Manipulation der Blindleistungsflüsse (Q_{MS}, Q_{ONT}, Q_{NS}) ist über Kompensationsanlagen (z. B. Kapazitäten, Drosseln, Leistungselektronik) oder Erzeugungsanlagen (z. B. Spannungsblindleistungsregelung durch PV-Wechselrichter, Synchrongeneratoren) aber auch Lasten (z. B. Synchronmaschinen im Phasenschieberbetrieb) und umrichterbasierten Speichern möglich.

Einsatz direkter Spannungsquellen

Unter diesem Begriff werden Gerätschaften (i. d. R. auf dem Transformatorprinzip beruhend) zusammengefasst, die durch eine „Zusatzspannung“ das Spannungsniveau beeinflussen. Im Verteilungsnetz findet man typischerweise Längsregler, d. h. es wird nur der Betrag der Spannung und nicht die Phasenlage verändert – der Einfluss wirkt längs des komplexen Spannungszeigers eines Netzknotens (z. B. \underline U_{UW}, \underline U_{ONT}). Im Übertragungsnetz werden auch Quer- und Schrägregler verwendet um durch die zusätzliche Manipulation der Phasenlage die Leistungsflüsse im Stromnetz besser steuern zu können. Standardmäßig sind in jedem Verteilungsnetz zwei solcher direkter Spannungsquellen vorzufinden – der Umspannwerktransformator samt Stufenschalter und der Ortsnetztransformator mit integriertem Umsteller. So lässt sich die Aufnahmefähigkeit des Netzes für dezentrale Erzeugungsleistung erhöhen, indem man in die UW-Regelung eine dynamische Sollwertanpassung implementiert oder den ONT-Umsteller in den kritischen Netzbereichen saisonal den Gegebenheiten anpasst. Zusätzlich kann das Spannungsniveau über heute so bezeichnete Einzelstrangregler in der MS- oder NS-Leitung beeinflusst werden. Hierbei wird immer nur der nachfolgende Netzabschnitt beeinflusst. Eine weitere Lösungsmaßnahme ist der regelbare Ortsnetztransformator. Mit ihm kann ein komplettes Ortsnetz, bei höherer und geeigneter Installationsdichte auch Teile des MS-Netzes „entspannt“ werden.

Nachfolgende Tabelle fasst die vier Kategorien mit den jeweiligen Lösungsmaßnahmen zur Behebung von Spannungsbandproblemen zusammen.

\begin{tabular}{||p{5 cm}|p{5 cm}|p{5 cm}|p{5 cm}||} \hline \hline \rowcolor[gray]{.9} \textbf{Impedanz} & \textbf{Wirkleistung} & \textbf{Blindleistung} & \textbf{Spannungstransformation} \\ \hline Stationsdichte\newline UW/ONS & Lastmanagement/\newline Demand-Side-Management & Q-fähige\newline Erzeugungsanlagen & Dynamische\newline Sollwertanpassung\newline UW-Transformator \\ \hline Leitungstausch/\newline Parallelverkabelung & Einspeisemanagement & eigene\newline Kompensationsanlagen & Zwischentransformation\newline MS-/NS-Strang \\ \hline Vermaschung/\newline Trennstellenverlagerung & Lastflusssteuerung & fremde\newline Kompensationsanlagen & Anpassung\newline Umsteller ONT \\ \hline Bemessungsleistung ONT & Zwischenspeicherung & Q-fähige\newline Speicher & Regelbarer\newline Ortsnetztransformator\\ \hline \hline \end{tabular}